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Primero calculamos el dominio de la función:
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Matemática 51
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Hallar en los siguientes casos el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$.
d) $f(x)=\frac{-3 x^{2}}{x^{2}+1}$
d) $f(x)=\frac{-3 x^{2}}{x^{2}+1}$
Respuesta
Como te dije, para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te expliqué.
Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$
$f(x)=\frac{-3 x^{2}}{x^{2}+1}$
Para encontrar el dominio, debemos asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
$x^{2}+1 \neq 0$
$x^{2} \neq -1$
De acá no podemos despejar $x$, es absurdo, pues un cualquier número (distinto de cero) elevado a una potencia par da como resultado un número positivo. Por lo tanto, el resultado es que no hay restricción del dominio de la función $f$. Es decir, que el dominio son todos los números reales.
El dominio de $f$ es $\text{Dom} f = \mathbb{R}$, o lo que es lo mismo, $(-\infty, +\infty)$.
Para saber si -3 pertenece a la imagen de la función, podemos armar una tabla de valores y graficar la función, ya que aún no sabemos calcularla.
💡 Mi recomendación para este ejercicio: hacé una tabla de valores y graficá aproximadamente la función para luego evaluar qué pasa para $y=-3$.
Ahora bien, otra forma un poco más rebuscada, sería evaluar si existe algún valor de $x$ que haga que $f(x)=-3$. Para hacer esto tenemos que reemplazar el -3 como resultado de la función y ver si corresponde a una $x$ que pertenezaca al dominio de la función:
Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:
$\frac{-3 x^{2}}{x^{2}+1} = -3$
$-3 x^{2}=-3(x^{2}+1)$
$-3 x^{2}=-3x^{2}-3$
$-3 x^{2}+3x^{2} = -3$
$0 = -3$
Vemos que llegamos a una afirmación que es falsa, pues cero no es igual que -3, por lo tanto, decimo que no existen valores de $x$ en los números reales, que hagan que $f(x)= -3$.
Conclusión: $-3$ no pertenece a la imagen de la función. $-3 \notin \operatorname{Im} f$